<방정식>

1. 일차방정식

2. 이차방정식

(1)이차방정식의 풀이

(2)이차방정식의 근의 판별

(3)이차방정식의 근과 계수와의 관계

(4)공통근

(5)이차방정식의 근의 부호

3. 고차방정식

(1)고차방정식의 풀이

(2)삼차방정식의 근과 계수와의 관계

(3)방정식의 켤레근

(4)오메가 이론

4. 연립방정식

(1)이원일차연립방정식

(2)삼원일차연립방정식

(3)이원이차연립방정식

5. 부정방정식

<부등식>

1. 부등식의 성질

2. 일차부등식

3. 이차부등식

4. 연립부등식

5. 부등식의 증명

6. 절대부등식

<방정식>

◎ 등식             : 모든 값에 대하여 항상 등호가 성립하는 식

: 특정한 값에 대해서만 등호가 성립하는 식

[eqn: x^2 -2x+1=(x-1)^2]  : 모든 x에 대해 성립 ····…

[eqn: x^2 +1=2x]  :  x=1일 때 성립 ·······

1.일차방정식

[eqn: ax-b=0]의 풀이          일 때 b에 관계없이        (해는    개)

일 때   b≠0 이면          (해는      )

b=0 이면           (해는      )

※ ax-b=0이 해를 갖을 조건 ⇔               ⇔

<예1-1> {[eqn: x~|~a^2 x+1 =a(x+1)]}=[eqn: EMPTYSET]일 때 a의 값은?

<예1-2>x에 대한 방정식 [eqn: (a^2 -a )x=2(x-1)+a] 를 풀어라.([eqn: a]는 상수)

<예1-3>x에 대한 방정식 |x-2|+|x-3|=7을 풀어라.

2.이차방정식

(1)이차방정식의 풀이

ⓐ         이용       ⓑ           이용     ⓒ          이용

[eqn: ax^2 +bx+c=0]       [eqn: ax^2 +bx+c=0]        [eqn: ax^2 +bx +c=0]

[eqn: a(x-α)(x-β)=0]     [eqn: (x-A)^2 =B]        [eqn: a[{x^2 +{b over a}x +~~~~~~~ }] - b^2 over 4a^2 +c=0]

[eqn: x=α ,x=β]          [eqn: x-A=± rootB]       [eqn: (x+ b over 2a )^2 ={b^2 -4ac} over 4a^2]

[eqn: x=A± rootB]          [eqn: x=]

(예)  [eqn: x^2 -5x+4=0]         [eqn: x^2 -4x+2=0]          [eqn: x^2 -3x-2=0]

<예2.1-1>다음 방정식을 풀어라.

①[eqn: (2x-5)^2 =(x-6)^2 -17]      ② [eqn: x^2 + ∣2x-1∣=2]

<예2.1-2>한 변의 길이가 12m인 정사각형 모양의 꽃밭이 있다. 이 꽃밭에 T자형 도로를

만들었더니 남은 꽃밭의 넓이가 100[eqn: m^2]이 되었다. 이때 도로의 폭은 얼마인가?

<예2.1-3>강가에 접한 직사각형 모양의 땅이 있다. 길이 840m의 울타리를 쳐서 그 넓이가

72000[eqn: m^2]인 젖소 목장을 만들려고 한다. 가능한 한 한꺼번에 많은 소들이 물을 먹일 수

있도록 하려면 울타리를 어떻게 쳐야 되는가? (단 강쪽에는 울타리를 치지 않는다.)

(2)이차방정식의 근의 판별

[eqn: ax^2 +bx+c=0]의 해 [eqn: x={-b±{root{b^2 -4ac}}}over2a] 에서         를 D라고 하면

서로 다른 두 실근      서로 같은 두 실근(중근)     서로 다른 두 허근

# 이 때 [eqn: D=b^2 -4ac]를 이차방정식의 판별식 이라고 한다.

<예2.2-1>이차방정식[eqn: (a+2)x^2 -2ax+1=0] 의 근을 판별하면? (단 a는 상수)

<예2.2-2>[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -(2-k)x+ k^2 over 4 =0]이 실근을 갖도록 k의 범위를 구하여라.

<예2.2-2>[eqn: x^2 +xy+ky^2 -x+7y-2] 가 [eqn: x,y]에 대한 일차식의 곱으로 분해될 때 [eqn: k]는?

(3)근과 계수와의 관계

[eqn: ax^2 +bx+c=0]의 두 근을 α, β 라고 하면    α+β=      ,  αβ=     , ∣α-β|=

(증명)  [eqn: α={-b+rootD} over 2a ,β={-b-rootD} over 2a]  이므로

α+β = [eqn: {-b+rootD} over 2a ~+~{-b-rootD} over 2a] = [eqn: - b over a],   αβ = [eqn: {-b+rootD} over 2a ~×~{-b-rootD} over 2a] = [eqn: c over a]

α-β= [eqn: {-b+rootD} over 2a ~-~{-b-rootD} over 2a] =[eqn: rootD over a]  그러므로  ∣α-β∣=[eqn: rootD over {∣a∣}]

# [eqn: ax^2 +bx+c=0] 의 두 근을 α, β 라고 하면  [eqn: ax^2 +bx+c=]

(증명)

[eqn: ax^2 +bx +c= a(x^2 +{ b over a}x+ c over a )=a[x^2 -(- b over a )x+ c over a ]=a[x^2 -(α+β)x+αβ]]

[eqn: =a(x-α )(x-β )]

#  α, β를 근으로 하는 이차방정식 ⇔

⇔

<예2.3-1>[eqn: x^2 -3x-5=0]의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라.

① [eqn: α^2 +β^2]          ②[eqn: α^3 +β^3]          ③[eqn: ∣α- β∣]

<예2.3-2>[eqn: 4x^2 -6x +3]을 복소수의 범위까지 인수분해 하여라.

<예2.3-3>[eqn: {-1± root5 i}over 2]를 두 근으로 하는 이차방정식은? (단 최고차항의 계수는 2)

<예2,3-4>[eqn: x^2 -2x-1=0]의 두 근을 α,β 라고 할 때 다음을 두 근으로 하는

[eqn: x^2]항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.

①[eqn: α+β, ~ αβ]               ②[eqn: α+ 1 over α , ~ β+ 1 over β]

(4)공통근

공통근을 구하는 요령

① f(x)=0과 g(x)=0의 해를 구하여 공통되는 근을 공통근으로 한다.

② 공통근을 α라고 하고 f(α)=0과 g(α)=0을 만족하는 α를 구한다.

<예2.4-1>다음 두 2차방정식이 오직 하나의 공통근을 갖도록 m을 구하면?

[eqn: x^2 +4mx-(2m-1)=0,~~x^2 +mx+m+1=0]

<예2.4-2>x에 대한 방정식 [eqn: x^3 +px+8=0]과 [eqn: 2x^2 +p=0]이 한 개의 공통근을 가질 때,

실수 p의 갑을 구하여라.

(5)이차방정식의 근의 부호

[eqn: ax^2 +bx+c=0]의 두 근을 α, β라고 하면

①두 근 모두 양일 조건    ②두 근 모두 음일 조건    ③두 근이 서로 다른 부호일 조건

( ∵αβ<0 ⇔ [eqn: c over a <0] ⇔ [eqn: ac<0]

그러므로 [eqn: D=~b^2 -4ac ~≥0] )

#  두 근의 절대값이 같고 부호가 반대일 조건 :

음 근의 절대값이 양 근보다 클 조건 :

음 근의 절대값이 양 근보다 작을 조건 :

한 근만이 0일 조건 :

<예2.5-1>[eqn: x^2 +2(m-1)x-m+3=0]이 다음조건을 만족하도록 실수 m의 범위를 구하여라.

(1)두 근 모두 양  (2)두 근 모두 음  (3)두 근이 서로 다른 부호  (4)한 근만이 0

<예2.5-2>방정식 [eqn: (m+3)x^2 -4mx +2m-1=0]이 서로 다른 부호의 실근을 갖고,

음 근의 절대값이 양 근보다 크도록 실수 m의 범위를 구하여라.

3.고차방정식

(1)고차방정식의 풀이

ⓐ인수분해 이용: [eqn: a^3 +b^3 =~~~~~~~~~~~~~~~~~~,~a^3 -b^3 =]

ⓑ인수정리와 조립제법 이용

⋇복이차방정식([eqn: ax^4 +bx^2 +c] )

⋇상반방정식(각 항의 계수가 좌우 대칭인 방정식)

짝수차 상반방정식 :

홀수차 상반방정식 :

<예3.1-1>다음 방정식을 풀어라.

①[eqn: x^3 -8=0]     ②[eqn: x^3 +x+2=0]    ③[eqn: x^4 -3x^2 +2=0]

④[eqn: x^4 -3x^2 +9=0]         ⑤[eqn: x^4 -3x^3 -2x^2 -3x +1=0]

(2)삼차방정식의 근과 계수와의 관계

[eqn: ax^3 +bx^2 +cx +d=0]의 세 근을 [eqn: alpha ,beta, gamma] 라고 하면

[eqn: alpha + beta + gamma] =       [eqn: alpha beta + beta gamma + gamma alpha] =      [eqn: alpha beta gamma] =

#[eqn: alpha ,beta, gamma]를 세 근으로 하는 삼차방정식 ⇒

⇒

<예3.2-1>[eqn: x^3 -3x^2 +x+2=0]의 세 근을 [eqn: alpha ,beta, gamma] 라고 할 때 다음을 구하여라.

①[eqn: (1+α )(1+β )(1+γ )]                    ②[eqn: α^2 + β^2 + γ^2]

<예3.2-2>[eqn: x^3 +3x +2=0]의 세 근을[eqn: alpha ,beta, gamma] 라고 할 때[eqn: alpha + beta , beta + gamma , gamma + alpha]를 근으로

하는 삼차방정식은?

(3)방정식의 켤레근

ⓐ유리계수 방정식의 [eqn: 한~근이~~ a+b{ rootm}] 이면         도 근이다.

ⓑ실 계수 방정식의 [eqn: 한~근이~~ a+b] 이면          도 근이다.

<예3.3-1>[eqn: 2x^2 +ax +b=0]의 한 근이 [eqn: 2+ root2] 일 때 유리수 a, b는?

<예3.3-2>삼차방정식 [eqn: x^3 +ax^2 -4x+b=0]의 한 근이 [eqn: 1-i]일 때 [eqn: a+b]는?

(단 [eqn: a,~b]는 실수)

(4)오메가 이론

ⓐ[eqn: x^3 =1]의 한 허근을 ω 라고 하면

두 허근을 [eqn: ω_1, ~ω_2] 라고 하면 [eqn: ω_1 +ω_2 =~~~~,~ ω_1 ω_2 =]

[eqn: (ω_1 )^2 = ~~~~~,~ (ω_2 )^2 =]

ⓑ[eqn: x^3 =-1]의 한 허근을 ω 라고 하면

두 허근을 [eqn: ω_1, ~ ω_2] 라고 하면 [eqn: ω_1 +ω_2 =~~~~,~~ω_1 ω_2 =~~]

[eqn: (ω_1 )^2 =~~~~ ~, ~~ ( ω_2 )^2 =]

<예3,4-1>[eqn: x^3 =1]의 한 허근을 ω 라고 할 때 다음을 구하여라.

①[eqn: ω^2 over ω+1]              ②[eqn: ω^101 +ω^100 +1]

<예3.4-2>[eqn: x^3 =-1]의 두 허근을[eqn: ω_1 , ω_2] 라고 할 때 다음 중 잘못된 것은?

①[eqn: ( ω_1 )^3 =-1]             ②[eqn: ω^2 +ω+1=0]

③[eqn: ω_1 + ω_2 =1]  ④[eqn: ω_1 ω_2 =1]  ⑤[eqn: (ω_1 )^2 =-ω_2]

4.연립방정식

(1) 2원1차 연립방정식

,        ,         이용

<예4.1-1>다음 연립방정식을 풀어라.

①2x+3y=7, 5x-2y=8     ②x+y=1, x=3y+5     ③x=3y+1, x=y+3

(2) 3원1차 연립방정식

<예4,2-1> x+y+z=4, 2x+y-z=8, 3x-2y+z=-1을 만족하는 x, y, z를 구하여라.

(3) 2원2차연립방정식

①[eqn: cases{(일차식)=0#(이차식)=0}]

②[eqn: cases{(일차식)(일차식)=0#(이~~~ 차~~~ 식)=0}]

③[eqn: cases{(이차식)=0#(이차식)=0}]

④[eqn: cases{(이차의동차식)=상수#(이차의동차식)=상수}]

⑤[eqn: cases{(x,y 대칭식)=상수 #(x,y 대칭식)=상수}]

<예4.3-1>다음 연립방정식을 풀어라.

①[eqn: cases{2x+y=5 # x^2 +y^2 =25}]

②[eqn: cases{6x^2 -xy-2y^2 =0#4x^2 +xy-4y^2 =-14}]

③[eqn: cases{3y^2 +2x-5y=4#2y^2 -5x+3y=9}]

④[eqn: cases{2x^2 +3xy+y^2 =3#x^2 -2xy-3y^2 =5}]

⑤[eqn: cases{x^2 +y^2 +x+y=2#x^2 +xy+y^2 =1}]

5.부정방정식

<물음> x+y=2를 만족하는 x, y는?

(x, y) = …‥(-2, 4) (-1, 3) (0, 2) (1, 1) ····   해는 무수히 많다.

그러나 자연수라는 조건이 있으면 (1, 1)만 해 이다.

@부정방정식 :

⇒ 조건이 있어야만 해를 구할 수 있다.

(1)정수조건 :                      형태로 변형.

(2)실수조건 : ①

②

<예5.1-1>[eqn: xy-3x+2y-9=0]을 만족하는 정수 x, y는?

<예5,1-2>[eqn: x^2 -4xy+5y^2 +2x-8y+5=0] 을 만족하는 실수 x,y는?

<예5.1-3>[eqn: (x^2 +1)(y^2 +4)=8xy]를 만족하는 실수 x, y를 구하여라.

<부등식>

1.부등식의 성질

(1) a〉b 이고  b〉c 이면

(2) a〉b 이면             ,

(3) a〉b 일 때      m〉0 이면           ,

m〈 0 이면         ,

(4)  a〈 x 〈 b           a〈 x 〈 b        a〈 x〈 b         a〈  x 〈 b

+  c〈 y 〈 d       -   c〈 y 〈 d     × c〈 y〈 d       ÷ c〈  y 〈 d

〈 x+y〈             〈 x-y〈         〈 xy〈           〈 x/y 〈

(단 a, b, c는 양수)

#허수는          가 정의되어 있지 않기 때문에 부등식은     의 범위에서 생각한다.

<예1-1> "a>b, c>d 이면 a+c>b+d"임을 증명하여라.

<예1-2> a>0, b>0일 때 “[eqn: a>b ~⇔~ a^2 >b^2] "임을 증명하여라.

2.일차 부등식

[eqn: ax-b~ 〉0] 의 풀이           이면 b에 관계없이

이면 b에 관계없이

일 때          이면 해는 없다.[eqn: (~0x〉 양수)]

이면 해는 무수히 많다.[eqn: (~0x~ 〉 음수)]

<예2-1>다음 부등식을 풀어라.

(1)[eqn: m^2 x+1~ 〉 x+m]                     (2) |x+1|+|x-2|<5

3.이차 부등식

(1)[eqn: ax^2 +bx+c~ 〉 0] 의 풀이 ([eqn: a~ 〉 0])

①[eqn: D~=b^2 -4ac ~〉 0]    ②[eqn: D=b^2 -4ac~ =0]     ③[eqn: D=b^2 -4ac〈~ 0]

[eqn: ax^2 +bx+c~ 〉 0]       [eqn: ax^2 +bx+c~ 〉 0]        [eqn: ax^2 +bx+c~〉 0]

⇔[eqn: a(x- alpha )(x- beta )>0]       ⇔[eqn: a(x-p)^2 >0]

⇔                    ⇔                      ⇔

[eqn: ax^2 +bx+c〈~ 0]         [eqn: ax^2 +bx+c〈~ 0]          [eqn: ax^2 +bx+c〈 ~0]

⇔[eqn: a(x- alpha )(x- beta )<0]      ⇔[eqn: a(x-p)^2 >0]           ⇔

⇔                      ⇔

(2)[eqn: ax^2 +bx+c~ 〉 0] 의 풀이 ([eqn: a〈~ 0])

양변에 -1을 곱하여 [eqn: a~〉 0] 으로 변형. (부등호 바뀐다)

# [eqn: ax^2 +bx+c~ 〉 0] 이 항상 성립할 조건 :

[eqn: ax^2 +bx+c〈~ 0] 이 항상 성립할 조건 :

<예3-1>다음 이차부등식을 풀어라.

①[eqn: 3x^2 +3〈 -6x+6]         ②[eqn: x^2 -(a+2)x+2a〈~ 0]

③[eqn: x^2 -2x-3>3|x-1|]       ④[eqn: |x^2 -6x+8|<8]

<예3-2>[eqn: a(x^2 -2x+4)~ 〉 2x] 가 모든 실수 [eqn: x]에 대해 성립하도록 [eqn: a]의 범위를 구하여라.

<예3-3>이차부등식 [eqn: ax^2 +5x+b>0]의 해가 [eqn: 1over3 <x`< 1over2]일 때, [eqn: a,~b]를 구하여라.

4.연립부등식

[eqn: cases{ f(x)〉0 # g(x)〉0}]의 해 ⇒

<예4-1>다음 연립부등식을 풀어라.

①[eqn: cases {x^2 +2x-15≤ 0 # x^2 -2x-1~ 〉 0}]            ②[eqn: 2x+4〈 ~x^2 〈~ 4x-1]

<예4-2> 방정식 [eqn: x^2 +nx+n=0]은 실근을 갖고 [eqn: 2x^2 +4nx+7n+9=0]은 허근을 갖도록

정수 n의 값을 정하여라.

<예4-3>두 방정식 [eqn: x^2 +2kx+4=0,~x^2 +kx+k=0]이 동시에 실근을 갖도록 k의 범위를

구하면?

5. 부등식의 증명

(1) 차 이용                  (2) 비 이용 ( A>0, B>0 )

A-B>0 이면                A/B>1 이면

A-B=0 이면                 A/B=1 이면

A-B<0 이면                A/B<1 이면

※제곱 이용 : A≥0, B≥0 일 때 [eqn: A^2 -B^2 ≥ 0 ~~이면~~A≥B]

<예5-1> [eqn: 2^30 ~과~10^9]의 대소를 비교하여라.

<예5-2> a>b>0일 때 [eqn: root{2(a+b)}~와~root a + root b ~의] 대소를 비교하여라.

6.절대부등식(항상 성립하는 부등식)

(1)[eqn: a^2 ±2ab+b^2 ≥ 0], [eqn: a^2 ± ab+ b^2 ≥ 0]

(2)[eqn: a^2 +b^2 +c^2 ≥]

(3)[eqn: a≥ 0,b≥ 0,c≥ 0~이면~ a^3 +b^3 +c^3 ≥]

(4)[eqn: (a^2 +b^2 )(x^2 +y^2 )≥ ~~~~~~~~~~ , ~~(a^2 +b^2 +c^2 )(x^2 +y^2 +z^2 )≥]

(5)[eqn: a≥ 0,b≥ 0,c≥ 0~이면~{ a+b}over2 ≥~~~~ ~≥ {2ab}overa+b]

[eqn: ~~~~~~~~~≥ {}^3rootabc ~ ≥]

(4)증명:[eqn: (a^2 +b^2 )(x^2 +y^2 )-(ax+by)^2 ~ =~ b^2 x^2 -2abxy+a^2 y^2 ~ =~~~~~~~~~~ ≥~ 0]

(5)증명:[eqn: a+b over 2 -rootab ~={ a+b-2rootab} over 2 =~~~~~~~~~~~~ ≥ 0]

[eqn: rootab ~- 2ab over a+b ={rootab ~(a+b-2rootab ~)}over a+b =~~~~~~~~~~~~~~~~~ ≥ 0]

<예6-1> ① [eqn: a^2 +b^2 =1,~x^2 +y^2 =1~ 일때~~ax+by~ 의~~최대값과~최소값을~구하여라]

② [eqn: x^2 +y^2 +z^2 =56~~일때 ~~x+2y+3z~의~~최대값은?]

<예6-2> ①[eqn: a,~b,~c~가~양수일~때~(a+b)(b+c)(c+a)의~최소값은?]

②[eqn: p,q~ 가~~양수일~~때~~(p+{ 1} over q )(q+ 1 over p )~의 ~~최소값은?]